Erklärung: Gödels Beweis

Mit freundlicher Genehmigung des Autors zitieren wir aus dem Buch:
„Gödel, Einstein und die Folgen“ von Prof. Palle Yourgrau, Seiten 152-154

Der Tanz beginnt mit der begrenzteren speziellen Relativitätstheorie. Angenommen, die A-Reihe enthielte das Dahinfließen des „Jetzt“, so schließt das Fehlen eines objektiven, weltweiten „Jetzt“ in der speziellen Relativitätstheorie aus, dass es dieses „Jetzt“ gibt. Ohne die A-Reihe gibt es jedoch keine intuitive Zeit. Was bleibt – formale Zeit, wie sie vom kleinen „t“ der Einstein-Minkowski-Raumzeit repräsentiert wird -, kann nicht mit der intuitiven Zeit der Alltagserfahrung gleichgesetzt werden. Die Schlussfolgerung ist für Gödel zwangsläufig: Wenn sich die Relativitätstheorie als richtig erweist, gibt es keine intuitive Zeit.

Im zweiten Schritt erinnert uns Gödel daran, dass die spezielle Relativitätstheorie „etwas Besonderes“ ist, weil sie nur eine träge, das heißt, unbeschleunigte Bewegung auf einer geraden Bahn kennt. Dies schließt eine beschleunigte, der Schwerkraft unterworfene Bewegung aus. Einsteins allgemeine Relativitätstheorie dagegen, von der die spezielle Relativitätstheorie ein Sonderfall ist, enthält eine Theorie der Schwerkraft – die erste seit Newton. In der allgemeinen Relativitätstheorie wird, wie wir gesehen haben, die Schwerkraft selbst als Raumzeit-Krümmung definiert, die wiederum durch die Verteilung der bewegten Materie bestimmt ist. Daraus folgt, dass, während bei der speziellen Relativitätstheorie keine bewegten Bezugssysteme privilegiert sind, sich in der allgemeinen Theorie doch einige abheben, nämlich solche, die in Gödels Worten „der mittleren Bewegung der Materie“ im Universum „folgen“. In der wirklichen Welt können, wie sich herausstellt, diese privilegierten Bezugssysteme so aufeinander abgestimmt sein, dass sie einen objektiven Rest der Zeit bestimmen – die „kosmische Zeit“, die wir bereits erwähnt haben. In der allgemeinen Relativitätstheorie gibt es dadurch wieder zumindest eine Art von Zeit.

Aber die Zeit spielt erst dann eine Rolle, wenn Gödel zu Schritt drei übergeht, wo er die Tatsache ausnutzt, dass Einstein die Raumzeit vollständig geometrisiert hat. Die Gleichungen der allgemeinen Relativitätstheorie erlauben nämlich alternative Lösungen, von denen jede ein mögliches Universum bestimmt, eine nach der Relativitätstheorie mögliche Welt. Es gibt kaum Lösungen für diese komplexen Gleichungen, aber Gödel findet in kürzester Zeit ein vollständig unerwartetes, relativistisch mögliches Universum (in Wahrheit eine Gruppe davon) – inzwischen bekannt als Gödel-Universum (oder GU)-, in dem die Geometrie der Welt so ungewöhnlich ist, dass es Raumzeit-Wege enthält, die in vertrauteren Universen wie dem unsrigen undenkbar wären. Man kann beweisen, dass es in einem solchen Gödel-Universum in sich geschlossene zeitartige Kurven gibt, sodass man, wenn man schnell genug reist, in der Vergangenheit ankommen kann, obwohl man immer auf die lokale Zukunft zusteuert. Diese in sich geschlossenen Schleifen oder Kreisbahnen haben einen vertrauteren Namen: Zeitreise. Wenn es jedoch in solchen Welten möglich ist, argumentiert Gödel, in seine eigene Vergangenheit zurückzukehren, was war das dann für eine Vergangenheit, die nicht vergangen ist Eine Zeit, die niemals wirklich vorüber ist, kann doch nicht als wirkliche intuitive Zeit angesehen werden. Die Realität der Zeitreise im Gödel-Universum weist auf die Unwirklichkeit der Zeit hin. Wieder einmal verschwindet die Zeit.

Doch damit ist der Tanz noch nicht zu Ende. Denn das Gödel-Universum ist schließlich nur eine mögliche und nicht die wirkliche Welt. Können wir wirklich daraus, dass die Zeit in einem nur möglichen Universum nicht existiert, ableiten, dass sie auch in unserer Welt nicht existiert? Kurz gesagt, ja, das können wir! So zumindest argumentiert Gödel. Hier macht er seinen letzten, aber auch seinen subtilsten und am schwersten zu verstehenden Schritt, den von der möglichen in die reale Welt. Das ist eine Art der Schlussfolgerung ganz nach dem Geschmack von Gödel. Aufgrund seines mathematischen Platonismus, durch den für ihn ein Reich von Objekten existiert, die nicht wie du und ich zwar da sind, unter Umständen aber auch nicht da sein könnten, die also nicht zufällig, sondern zwangsläufig existieren, ist sofort klar, dass ein mathematisches Objekt, wenn es schon möglich ist, dann auch notwendig und daher wirklich ist. Denn was notwendigerweise existiert, muss, damit diese Aussage zutrifft, zwangsläufig in allen möglichen Welten existieren. Dieselbe logische Schlussfolgerung – vom möglichen auf das reale Existieren – findet sich auch in dem berühmten „ontologischen Gottesbeweis“ des Heiligen Anselm (von Canterbury), von Descartes und Leibniz. Diesem Argument zufolge kann man Gott nicht als ein zufällig vorhandenes Wesen ansehen – eines, das rein zufällig existiert -, sondern muss ihn als ein notwendig vorhandenes Wesen betrachten, eines das, wenn es überhaupt existiert, dann in allen möglichen Welten vorhanden sein muss. Daraus folgt: Wenn man auch nur für möglich hält, dass Gott existiert, dann existiert er tatsächlich. (Dementsprechend kann man nicht nur einfach Atheist sein, man muss schon ein „Ober-Atheist“ sein – dass heißt einer, der nicht nur leugnet, dass es einen Gott gibt, sondern auch, dass er überhaupt möglich ist. Die Erfahrung lehrt, dass der Durchschnitts-Atheist meist nicht gewillt ist, noch weiter zu gehen und zum Ober-Atheisten zu werden.) In der Nachfolge von Leibniz stellte auch Gödel einen ontologischen Gottesbeweis auf. Da er aber befürchtete, in einem atheistischen Zeitalter für einen Theisten gehalten zu werden, hat er nie erlaubt, ihn zu veröffentlichen.

Mit dem Schluss vom bloß möglichen Gödel-Universum, in dem es keine Zeit gibt, auf die Nichtexistenz der Zeit in der wirklichen Welt wandte Gödel eine Argumentation an, zu der er mehr Vertrauen hatte als die meisten seiner philosophischen Kollegen. So führte er für das Gödel-Universum an, dass in dieser möglichen Welt dieselben physikalischen Gesetze herrschen wie in der realen Welt – der Unterschied zu unserer Welt besteht nur im großen Maßstab der Verteilung von Materie und Bewegung – und es daher nicht sein kann, dass es in unserer eigenen Welt Zeit gibt, während sie in dieser möglichen Welt nicht existiert. Das zu leugnen, schloss Gödel, wäre so, als würde man behaupten, dass „die Frage, ob es einen objektiven Zeitverlauf gibt oder nicht (d. h. ob eine Zeit im gewöhnlichen Sinne des Wortes existiert oder nicht), von der besonderen Weise abhängt, in der die Materie und ihre Bewegung in der Welt angeordnet sind“. Auch wenn dies zu keinem zwingenden Widerspruch führen würde, gibt er zu bedenken, dass „eine philosophische Anschauung, die zu solchen Konsequenzen führt, kaum als befriedigend erachtet werden kann“.⁵ Es lässt sich aber zeigen, dass es im Gödel-Universum keine Zeit gibt. Sie kann daher auch in unserem eigenen nicht existieren. Der letzte Schritt ist gemacht, der Vorhang fällt: Die Zeit verschwindet tatsächlich.

⁵ http://kurtgoedel.de/cms-83FO/wp-content/uploads/2016/10/Goedel_1956.pdf