Unten eine Computer unterstützte Übersetzung des Textes, die zwar vom Autor autorisiert ist, aber im Deutschen merkt man das. Der englische Originalbeitrag hier.

Gödels Unentscheidbarkeits-Theoreme
und die Suche nach einer Theorie von allem
von Prof. Dr. Claus Kiefer

Was mich ursprünglich interessiert hat, ist die Erklärung der Erscheinungen des Alltagslebens aus höheren Begriffen und allgemeinen Gesetzmäßigkeiten, daher Physik. (GÖDEL 2020, p. 81)

1 Die Suche nach Vereinheitlichung
In seiner Antrittsvorlesung für den Lucasischen Lehrstuhl der Mathematik an der Universität Cambridge formulierte der renommierte theoretische  Physiker Stephen Hawking folgende Vision für die Zukunft (HAWKING 1980):

In dieser Vorlesung möchte ich die Möglichkeit diskutieren, dass das Ziel der theoretischen Physik in nicht allzu ferner Zukunft erreicht werden könnte, sagen wir, bis zum Ende des Jahrhunderts. Damit meine ich, dass wir eine vollständige, konsistente und einheitliche Theorie der  physikalischen Wechselwirkungen haben, die alle möglichen Beobachtungen beschreiben würde.

Das war im Jahr 1979. Im Nachhinein können wir sagen, dass eine solche einheitliche Theorie der physikalischen Theorie der physikalischen  Wechselwirkungen im Jahr 2000 nicht zur Verfügung stand und auch heute nicht zur Verfügung steht. Die „Träume von einer endgültigen Theorie“, um es mit den Worten von Steven Weinberg zu sagen (WEINBERG 1993), sind noch nicht verwirklicht worden. Nüchterner ausgedrückt: Das reduktionistische Programm der Physik ist noch nicht zu Ende. Ob es jemals zu einem Ende kommen wird, ist eine offene Frage und ist das Thema dieses Aufsatzes. Wie wir sehen werden, spielen Gödels Unentscheidbarkeitstheoreme eine entscheidende Rolle bei dieser Untersuchung.

In Anbetracht der Geschichte der Physik erscheint das reduktionistische Programm natürlich und geradlinig. Was früher getrennte Theorien (und Modelle) waren, wurde später als Spezialfälle einer gemeinsamen Theorie erkannt:  Elektrizität, Magnetismus und geometrische Optik wurden beispielsweise als besondere Grenzfälle der im 19. Jahrhundert von James Clerk Maxwell entwickelten Theorie der Elektrodynamik wiedergefunden. Alle bekannten Effekte in diesen Bereichen konnten aus einem grundlegenden Satz partieller Differentialgleichungen abgeleitet werden – den Maxwellschen Gleichungen. Ein weiteres Beispiel ist die partielle Vereinheitlichung der elektromagnetischen und schwachen Wechselwirkung zur elektroschwachen Wechselwirkung, die zusammen mit der starken Wechselwirkung das bildet, was heute als Standardmodell der Teilchenphysik bezeichnet wird.

Das Standardmodell wurde Ende der 1960er und Anfang der 1970er Jahre von Weinberg und anderen entwickelt. In diesem Kontext muss Hawkings Rede gesehen werden. Im Rahmen der  Vereinheitlichungsversuche in den 1970er Jahren wurden Modelle der Supergravitation konstruiert, die auf eine Vereinheitlichung der Gravitation – bisher erfolgreich durch Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie (GR) beschrieben – mit den anderen  Wechselwirkungen abzielen. Das Super in diesem Wort bezieht sich auf eine hypothetische Symmetrie zwischen Fermionen (zu denen Elektronen und Protonen gehören) und Bosonen (zu denen Photonen und Gravitonen gehören), die Supersymmetrie  genannt wird. Hawking spekulierte 1979, dass die endgültige Theorie die Form einer Supergravitationstheorie hat. Später, nachdem klar geworden war, dass diese Hoffnung unerfüllt geblieben war, favorisierte er die Stringtheorie und die M-Theorie (eine bestimmte Erweiterung der Stringtheorie). Die Stringtheorie wurde 1984 populär, als Hinweise darauf gefunden wurden, dass Eigenschaften des Standardmodells in dieser Theorie vorhanden sind. Bislang ist jedoch eine Wiederherstellung des Standardmodells aus der Stringtheorie ein unerfüllter Traum geblieben. Die Stringtheorie (und die M-Theorie) enthalten die Supersymmetrie als notwendigen Bestandteil, um ihre Konsistenz zu gewährleisten, aber bisher wurde kein Hinweis auf Supersymmetrie in Experimenten gefunden, die am Large Hadron Collider (LHC) in Cern, Genf, und anderswo durchgeführt wurden.

Wenn wir über eine vereinheitlichte Theorie spekulieren, gehen wir implizit davon aus, dass wir es mit einer endgültigen Theorie zu tun haben, das heißt wir gehen davon aus, dass es keine tiefere Struktur der physikalischen Theorien gibt. In Weinbergs Worten ist eine endgültige Theorie wie folgt charakterisiert:

Eine endgültige Theorie wird nur in einem Sinne endgültig sein – dass sie eine bestimmte Art von Wissenschaft beendet, nämlich die alte Suche nach jenen Prinzipien, die nicht mehr mit Hilfe von tieferen Prinzipien erklärt werden können (WEINBERG 1993, p. 13)

Man kann hier hinzufügen, dass eine wirklich endgültige Theorie auch in dem Sinne ausgezeichnet sein sollte, dass kleine Änderungen ihrer Parameter ihre wesentliche Struktur nicht verändern. Aber können wir wirklich entscheiden, ob eine gegebene einheitliche Theorie in diesem Sinne endgültig ist?

Physikalische Theorien werden in der Sprache der Mathematik formuliert, so dass die Frage der Vereinheitlichung in der Physik also eng mit der Konstruktion einer „vereinheitlichten“ mathematischen Sprache verbunden ist. Zu Beginn des letzten Jahrhunderts war es der Mathematiker David Hilbert, der versuchte, eine einheitliche mathematische Sprache zu konstruieren. Er suchte nach einer axiomatischen Grundlage für die Geometrie und schließlich für die gesamte Mathematik. Hilbert gehörte zu dem, was man heute die formalistische Schule nennt. Dort sind Axiome nicht mehr „offensichtliche“ Aussagen im Sinne von Euklid, sondern willkürliche formale Setzungen, deren Rechtfertigung im Erfolg des Findens eines einheitlichen Schemas liegt. Im Hinblick auf Ludwig Wittgensteins viel spätere philosophische Untersuchungen kann man Hilberts formales System ein Sprachspiel nennen. In der Mathematik wird ein solches Sprachspiel durch zwei wichtige Eigenschaften eingeschränkt, die im Folgenden eine wichtige Rolle spielen werden: Vollständigkeit und Konsistenz. Vollständigkeit bedeutet, dass jede Aussage, die in diesem formalen System formuliert werden kann, bewiesen oder widerlegt werden kann; Konsistenz bedeutet, dass es keine logischen Widersprüche zwischen verschiedenen Aussagen im formalen System gibt.

Hilberts Traum von der Vereinheitlichung war nicht auf die Mathematik beschränkt. Er beabsichtigte, diese auch auf die Physik zu übertragen, indem er eine einheitliche mathematische Sprache für die physikalischen Wechselwirkungen bereitstellte. Zu dieser Zeit waren nur die Gravitation und die Elektrodynamik als grundlegende Wechselwirkungen bekannt. Letztere wurde durch die Maxwellschen Gleichungen beschrieben, aber was ist mit der Ersteren? Die große Errungenschaft war hier Einsteins Theorie der allgemeinen Relativitätstheorie (GR), die im November 1915 fertiggestellt wurde. Ihre zentralen Gleichungen, die Einstein’schen Feldgleichungen, beschreiben bisher alle bekannten  Gravitationsphänomene (oder stehen zumindest nicht offensichtlich im  Widerspruch zu ihnen). Hilbert kam zu diesen Feldgleichungen etwa zur gleichen Zeit, indem er ein geometrisches Variationsprinzip postulierte, das wir heute als Einstein-Hilbert-Wirkung kennen. Aber im Gegensatz zu Einstein hatte er die Absicht, alle Feldgleichungen der Physik durch ein solches geometrisches Variationsprinzip abzuleiten. Deshalb trägt seine Publikation, nicht sehr bescheiden, den Titel „Die Grundlagen der Physik“ (HILBERT 1915).

Das Ziel, die Schwerkraft mit der Elektrodynamik durch eine geometrische Theorie im Sinne der GR zu vereinen, wurde von Hilbert nicht erreicht. Es wurde auch nicht von Einstein erreicht, der die meisten seiner späteren Jahre mit Versuchen verbrachte, eine einheitliche Feldtheorie zu finden. Rückblickend können wir vor allem zwei Gründe für dieses Scheitern geltend machen. Erstens, weder Hilbert noch Einstein berücksichtigten die mikroskopischen Wechselwirkungen, die als schwache und starke Wechselwirkung ab Anfang der 1930er Jahre untersucht wurden. Und zweitens, was vielleicht noch wichtiger ist, wurde die Quantentheorie nicht berücksichtigt, eine Theorie, die zur Zeit von Hilberts Artikel von 1915 noch nicht bekannt war, aber Einstein in den späteren 1940er und 1950er Jahren bekannt und die auch experimentell nachgewiesen war. Verbunden mit diesem zweiten Punkt ist die Frage nach dem Raumzeitkontinuum, das von Einstein im traditionellen Sinne verwendet wurde, und sein Schicksal in einer vereinheitlichten Theorie, die die Quantentheorie einschließt. Wir werden auf diesen Punkt weiter unten zurückkommen.

Hilbert war sehr optimistisch, was die Materialisierbarkeit seines axiomatischen Programms anging. In dieser Hinsicht war er ein Gegenspieler des Arztes und Physiologen Emil du Bois-Reymond, der sein berühmtes Ignoramus et ignorabimus (wir  wissen nicht und werden nicht wissen) in seiner Grundsatzrede von 1872  über die Grenzen des Naturerkennens formuliert hatte. Du Bois-Reymond war überzeugt, dass unserem Wissen über die Natur und die Naturgesetze grundlegende Grenzen gesetzt sind. Bereits im Jahr 1900, auf einer großen Konferenz über Mathematik in Paris¹ betonte Hilbert, dass es seiner Meinung nach in der Mathematik keinen Ignorabimus gibt. Dreißig Jahre später, nur ein Jahr vor der Veröffentlichung von Gödels Unentscheidbarkeitstheoremen, betonte er seinen Standpunkt noch einmal mit starken Worten in einer Rundfunkansprache²:

Wir dürfen nicht denen glauben,
die heute mit philosophischer Miene und überlegenem
Tone den Kulturuntergang prophezeien und sich in dem Ignorabimus
gefallen. Für uns gibt es kein Ignorabimus, und meiner Meinung
nach auch für die Naturwissenschaft überhaupt nicht. Statt des
törichten Ignorabimus heiße im Gegenteil unsere Losung: Wir
müssen wissen, Wir werden wissen.³

Werden wir also eines Tages die endgültige Theorie der Physik kennen oder wird es endgültig ein ignorabimus? In der heutigen Zeit, insbesondere in der Teilchenphysik, wird eine endgültige Theorie manchmal auch als „Theorie von allem“ (TOE) bezeichnet.  Diese Formulierung impliziert, dass eine solche Theorie nicht nur eine einheitliche Theorie der Physik liefert, sondern – zumindest im Prinzip – eine Theorie für alle möglichen Effekte in der Chemie, Biologie und vielleicht sogar darüber hinaus. Das entscheidende Wort ist hier „im Prinzip„. Wie wir heute wissen, können wir selbst innerhalb der Physik keine Effekte auf einer effektiven Ebene aus einer allgemeinen fundamentalen Theorie ableiten. So geht man beispielsweise davon aus, dass die Kernphysik sich als ein Grenzfall aus der Quantenchromodynamik (QCD), unserer grundlegenden Theorie der starken Wechselwirkungen, ergibt. In der Praxis ist der Formalismus jedoch so kompliziert, dass dies kaum möglich ist. Deshalb werden im Alltag eines Kernphysikers immer noch Modelle wie das Kernschalenmodell verwendet. Es ist offensichtlich, dass diese Einschränkung noch viel stärker für die Biologie gilt. Dort haben wir es mit noch komplexeren Systemen zu tun, und Konzepte wie die synthetische Biologie sind mächtiger als biologische Gesetze, die sich aus der fundamentalen Physik ergeben (WEITZE und PÖUHLER 2014). Dennoch lautet die für uns wichtige Frage, ob eine endgültige Theorie im Prinzip existiert, unabhängig von diesen praktischen Einschränkungen. Um diese Frage zu beantworten, ist es notwendig, die Beziehung zwischen Mathematik und Physik zu klären, was Gegenstand des nächsten Abschnitts ist.

2  Mathematik und Physik
In einem bekannten Artikel spekuliert der Nobelpreisträger Eugene Wigner über die seiner Meinung nach unangemessene Wirksamkeit der Mathematik in den Naturwissenschaften, insbesondere der Physik (WIGNER 1960). Wie kommt es, dass physikalische Phänomene durch mathematische Gleichungen beschrieben werden können? Und warum gibt es anscheinend eine kleine Gruppe von Gleichungen wie die Einsteinschen Gleichungen, die Maxwellschen Gleichungen und die Schrödinger-Gleichung, die die Grundlage dieser Beschreibung bilden? Schon Galilei stellte sich in seinem Werk Il Saggiatore vor, dass das Universum in einer mathematischen Sprache geschrieben sei, was für ihn die Sprache der Dreiecke, Kreise und anderer  geometrischer Figuren war. Unsere moderne mathematische Beschreibung der Physik geht auf Isaac Newton zurück, den zweiten Lucasischen Professor für Mathematik an der Universität von Cambridge. In seiner Nobelpreisrede von 1963 betonte Wigner die überraschende Entdeckung des Newtonschen Zeitalters, dass die Naturgesetze in dynamische Gesetze und  Anfangsbedingungen unterteilt werden können. Die dynamischen Gesetze sind durch Differentialgleichungen bis zur zweiten Ordnung in Raum und Zeit gegeben. Sie lassen daher Raum für Anfangsbedingungen (oder allgemeiner: Randbedingungen), die nicht durch die Gesetze festgelegt sind und die somit kontingente Merkmale unseres Universums darstellen.

Aber warum ist die Mathematik so wirksam? Eine vollständige Antwort ist schwer zu finden, aber eine Teilantwort könnte in der Rolle liegen, die Symmetrien auf einer fundamentalen Ebene spielen. Die Struktur des Standardmodells ist gegeben und wird durch die Eichinvarianz sogar stark eingeschränkt. Dabei handelt es sich um eine interne Symmetrie, die auf alle Quantenfelder wirkt, die Teilchen repräsentieren, und verbindet sie so auf nichttriviale Weise. Die Gravitation ist nicht im dem Standardmodell enthalten. Sie wird durch die Einstein’schen Feldgleichungen beschrieben, die eine andere Art von Symmetrie (oder besser gesagt Invarianz) aufweist – die Diffeomorphismus-Invarianz der Raumzeit. Gemeint ist damit der mathematisch exakte Ausdruck für Koordinateninvarianz: Raumzeitpunkte haben keine Bedeutung unabhängig von den dynamischen Freiheitsgraden, die die Geometrie und die Materiefelder repräsentieren.

Es gibt nicht wenige theoretische Physiker, die die grundlegenden  mathematischen Gleichungen als „schön“ betrachten. Dieser Sinn für Schönheit ist verbunden mit den Symmetrien oder Invarianzen, die diese Gleichungen aufweisen. Das gilt nur für die Gleichungen selbst; ihre Lösungen, sowie die daraus folgenden Näherungen, können langwierig, kompliziert und hässlich sein. Mit den Worten von WEINBERG (1993), S. 131: „Erst wenn wir  wirklich fundamentale Probleme untersuchen, erwarten wir, dass wir schöne Lösungen finden.“ Paul Dirac, ein weiterer Inhaber des Lucasischen Lehrstuhls für Mathematik, der die nach ihm benannte Gleichung erfunden hat, ging sogar noch weiter und behauptete, dass die Schönheit der Gleichungen wichtiger sei als die Vereinbarkeit mit dem Experiment. Die meisten Physiker würden eine solch starke Ansicht nicht unterstützen, weil sie die Gefahr birgt, Gleichungen zu formulieren, die keinen empirischen Gehalt haben. Im Jahr 1931 stellte Dirac selbst eine noch symmetrischere Version der Maxwellschen Gleichungen vor, die zusätzlich zu den üblichen elektrischen Ladungen auch magnetische Monopole enthält. Aber solche Monopole wurden noch nie gesehen, und es kann sein, dass sie gar nicht existieren. Dennoch bleibt die Frage, welche Struktur die fundamentalen Gleichungen einer vereinheitlichten und endgültigen Theorie hat. Die String- oder M-Theorie weist in ihrem gegenwärtigen Zustand weder „schöne“ Gleichungen auf, noch basiert sie auf einem ästhetisch ansprechenden Grundprinzip. Aber können wir etwas über die mögliche mathematische Struktur einer endgültigen Theorie sagen? Auch der Mathematiker Kurt Gödel drückte diese Idee der Schönheit aus:

Das Schöne an der Darstellung einer Sache ist, ihr zunächst
allgemeine Begriffe (abstrakte) und eventuell ihre Theorie
zu geben und dann die Anwendung auf das Empirische…
Aus dem gleichen Grund liegt die Schönheit der Physik in
der Erklärung von Alltagsphänomenen.
Daher auch der Name „Wissen“. (GÖDEL (2021), S. 229)⁴

Es ist sehr wahrscheinlich, dass auch Hilbert bei seiner Suche nach  Vereinheitlichung in der Mathematik und der Physik von einem gewissen  Schönheitsbegriff geleitet wurde. Aber Hilberts Programm erhielt einen schweren Schlag, als Gödel seine Unentscheidbarkeitstheoreme vorstellte (GÖDEL 1931)⁵. Dieser Schlag galt für die Mathematik; ob er auch für die Physik und den Träumen von einer endgültigen Theorie gilt, ist das Thema dieses Aufsatzes. Mit den Worten von Douglas Hofstadter kann Gödels erstes Unentscheidbarkeitstheorem wie folgt umschrieben werden:

Alle konsistenten axiomatischen Formulierungen der Zahlentheorie enthalten unentscheidbare Sätze. (HOFSTADTER 1982, S. 17)

Hofstadter vergleicht dieses Theorem mit einer Perle, die in einer Auster eingeschlossen ist, wobei die Auster für den mathematischen Beweis dieses Theorems steht, der dafür im Wesentlichen von selbstbezüglichen Aussagen Gebrauch macht. Das Theorem hat die weitreichende Konsequenz, dass in jedem ausreichend komplexen axiomatischen System (komplex genug, um die Arithmetik der natürlichen Zahlen zu enthalten) Aussagen gibt, die sich weder beweisen lassen noch widerlegt werden können. Also, wie Hofstadter weiter schreibt, „ist Beweisbarkeit ein schwächerer Begriff als Wahrheit, ganz gleich, um welches axiomatische System es sich handelt“. Traditionell sind die Mathematiker immer davon ausgegangen, dass eine bestimmte Aussage innerhalb eines formalen Systems entweder bewiesen werden kann oder ihre Negation bewiesen werden kann; jetzt gibt es eine dritte Möglichkeit, die als unentscheidbar bezeichnet wird.

Am Ende seines Artikels verkündet Gödel das, was heute sein zweites Unentscheidbarkeitstheorem genannt wird und das folgendermaßen umschrieben werden kann: „Wenn ein ausreichend komplexes axiomatisches System, das die Arithmetik der natürlichen Zahlen enthält, konsistent (frei von  Widersprüchen) ist, ist es unmöglich, diese Konsistenz innerhalb des Systems zu beweisen“. Hilberts ehrgeiziges Programm, ein vollständiges und konsistentes formales Schema für die gesamte Mathematik zu entwickeln, kann nicht verwirklicht werden.

Eine wichtige Anwendung ist das Halteproblem, bei dem es darum geht, festzustellen, ob ein gegebenes Computerprogramm nach einer bestimmten Anzahl von Schritten endet. Alan Turing hat 1936 gezeigt, dass dieses Problem unentscheidbar ist. Das neben dem Halteproblem vielleicht wichtigste Beispiel für ein unentscheidbares Problem ist die Kontinuumshypothese (CH). Es geht auf den Mathematiker Georg Cantor zurück und kann so formuliert werden, dass es keine Kardinalzahl zwischen der Menge der natürlichen Zahlen N und der Menge der reellen Zahlen R gibt. Die Gültigkeit der ausgewählten  Axiome vorausgesetzt, kann es auch in der Form formuliert werden, dass die Kardinalität der Potenzmenge [siehe Zeichen im Origtinalartikel]. Die Kontinuumshypothese ist das erste in Hilberts berühmter Liste von 23 ungelösten Problemen aus dem Jahr 1900. Sie ist eine Aussage über Zahlen; der Begriff Kontinuum stammt von der meist als selbstverständlich hingenommenen Idee, die Menge der reelen Zahlen R mit den Punkten auf einer Linie zu identifizieren. Dass eine solche Identifikation in Frage gestellt werden kann, ist eine spätere Erkenntnis und wird weiter unten im Zusammenhang mit ihrer Bedeutung für einheitliche Theorien diskutiert.

Die Kontinuumshypothese wurde von Paul Cohen 1963 als unentscheidbar erwiesen. Er konnte zeigen, dass sie mit den Standardaxiomen der Mengenlehre (den Zermelo-Fraenkel-Axiomen) weder bewiesen noch widerlegt werden kann. Gödel, der philosophisch das vertrat, was man als platonischen Realismus bezeichnet, glaubte, dass die CH wahr ist oder falsch sei, auch wenn im Rahmen der üblichen Mengenlehre weder ein Beweis noch ein Gegenbeweis erbracht werden kann.⁶ Er stellte sich vor, dass es in Zukunft ein mächtiges axiomatisches System geben wird, in dem eine Entscheidung getroffen werden kann.

Die Geschichte der Gödel’schen Theoreme und ihrer Konsequenzen für die Geschichte der Mathematik ist schon oft erzählt worden, und es hat keinen Sinn, sie hier zu wiederholen.⁷ Wir sind vielmehr daran interessiert, die Bedeutung der Gödel’schen Ergebnisse für die Konstruktion einer einheitlichen physikalischen Theorie (z.B. Stringtheorie) zu diskutieren, eine Geschichte, die bisher unangemessen vernachlässigt wurde.⁸

Im letzten Abschnitt untersuchen wir die Relevanz der Kontinuumshypothese für mathematische Modelle der Raumzeit. Bevor wir dies tun, müssen wir die Rolle der Quantentheorie bei der Suche nach einer einheitlichen Theorie verstehen, was Hilbert und Einstein bei ihrer Suche nach einer einheitlichen Theorie der Physik noch nicht untersucht haben.

3 Die Rolle der Quantentheorie
Die nichtrelativistische Version der Quantentheorie wurde zehn Jahre nach Einsteins (und Hilberts) Arbeiten zur allgemeinen Relativitätstheorie in den Jahren 1925-27 ausgearbeitet. Verallgemeinerungen zur Feldtheorie wurden später begonnen und sind noch nicht vollständig abgeschlossen. Der Grund für diesen  unvollendeten Stand der Dinge liegt in den unendlich vielen Freiheitsgraden der Quantenfeldtheorie: Ausgeklügelte mathematische  Regularisierungs- und Renormierungsverfahren wurden erfunden, um erfolgreich mit formal unendlichen Ausdrücken umzugehen, aber das Problem des unendlich Kleinen (und damit des Kontinuums) bleibt ungelöst. Das oben erwähnte Standardmodell der Teilchenphysik ist eine solche Quantenfeldtheorie.

Mathematisch gesehen ist das Standardmodell eine Eichtheorie (Yang-Mills-Theorie) und enthält insbesondere die Theorie der starken Wechselwirkung (QCD). Eine wichtige Frage ist, ob man im Rahmen dieser Theorie die beobachtete Einsperrung (Confinement) von Quarks beweisen kann. Interessanterweise scheint dieses Problem unentscheidbar zu sein (CUBITT et al. 2015). Tatsächlich gehört dieses Problem zur allgemeinen Klasse der Spektrallückenprobleme, unter denen man die Frage versteht, ob es eine Lücke zwischen der Grundzustandsenergie eines gegebenen Systems und seinem ersten angeregten Zustand gibt oder nicht. CUBITT et al. (2015) waren in der Lage, dieses Problem mit Turings Halteproblem in Verbindung zu bringen, woraus die Unentscheidbarkeit des Spektrallückenproblems folgt.⁹ Auf diese Weise finden die Gödel-Theoreme Eingang in das Standardmodell der Teilchenphysik.

In ihrem Beweis machen CUBITT et al. (2015) wesentlichen Gebrauch von dem thermodynamischen Grenzwert, d. h. dem Grenzwert, bei dem die Anzahl der Freiheitsgrade nach unendlich geht. Diese Grenze wurde wegen ihrer Bedeutung für Quantenphasenübergänge gewählt: der Übergang von einer Situation ohne Lücke und einer Situation mit Lücke (oder umgekehrt) kann bei beliebig großen (und nicht berechenbaren) Werten für den Parameter auftauchen, der die thermodynamische Grenze beschreibt.

Der Begriff der Unendlichkeit spielt also bei all diesen Überlegungen eine wesentliche Rolle. Es scheint, dass in der Physik bisher nur die Kardinalität N der reellen Zahlen eine Rolle spielen,¹⁰ aber dies ist bereits ausreichend, um die hier diskutierten Probleme zu verursachen. Schon KOMAR (1964) hat auf der Grundlage des Gödel-Theorems, aber ohne auf technische Details einzugehen, bemerkt, dass die Frage, ob zwei Zustände in der Quantenfeldtheorie makroskopisch unterscheidbar sind oder nicht, unentscheidbar ist. Seine Argumente funktionieren nur für Systeme mit unendlich vielen Freiheitsgraden, setzen also ein Raum-Zeit-Kontinuum voraus.

Diese Fragen sind mit einem anderen wichtigen Problem der Quantentheorie  verbunden: das Problem des klassischen Grenzwerts. Ein zentrales (und vielleicht das charakteristischste) Merkmal dieser Theorie ist das Superpositionsprinzip – die Summe zweier physikalisch erlaubten Quantenzuständen ist wiederum ein erlaubter Zustand. Dies führt unmittelbar zum Auftreten merkwürdiger makroskopischer Zustände wie der  Schrödingerschen Katze. Die Tatsache, dass solche Zustände nicht beobachtet werden, war ein immerwährendes Rätsel der Theorie. Ein Weg zur Lösung dieses Problems ist die Annahme einer wesentlichen Modifikation der Quantentheorie in Form eines Wellenfunktionskollapses. Kollapsmodelle werden im Detail untersucht (BASSI et al. 2013), aber bisher wurde noch keines experimentell nachgewiesen. Ein weiterer Weg ist die realistische Modellierung der Umgebung des Systems, die zur Bildung von Korrelationen führen kann, die die Superposition unbeobachtbar machen, indem die Verschränkung zu einer Verschränkung zwischen System und Umgebung wird. Dieser Prozess wird als Dekohärenz bezeichnet und ist experimentell gut belegt (JOOS et al. 2003).

Die Dekohärenz ist auch von Bedeutung für eine interessante Diskussion über den Ursprung des Bewusstseins. Roger Penrose entwickelte in Zusammenarbeit mit dem Anästhesisten Stuart Hameroff die Hypothese, dass Quantenüberlagerungen in neuronalen Mikrotubuli im Gehirn für die Entstehung des Bewusstseins verantwortlich seien; dies wurde wiederum mit der Unentscheidbarkeit des Halteproblems in Verbindung gebracht (PENROSE 1994). Das Gehirn, so Penrose und Hameroff, arbeitet in einem nicht-algorithmischen Weise und kann somit einen freien Willen hervorbringen.¹¹

Es ist interessant festzustellen, dass andere Wissenschaftler schon früher über eine Verbindung zwischen Bewusstsein und Quantentheorie spekuliert haben. Der Mathematiker John von Neumann sowie der bereits erwähnte Eugene Wigner vertraten die Idee, dass das Bewusstsein in der Tat für das Auftreten eines Wellenfunktionskollapses verantwortlich ist und auf diese Weise paradoxe Zustände wie die Schrödingersche Katze vermeidet. Wigner hat diese Idee in den 1970er Jahren aufgegeben, nachdem der Prozess der Dekohärenz von dem Physiker Dieter Zeh entdeckt wurde.¹²

Die Dekohärenz führte nicht nur dazu, dass Wigner seine Meinung änderte, sondern auch dazu, das Penrose-Hameroff-Szenario unwahrscheinlich zu machen. Wie Max Tegmark gezeigt hat, sind die Zeiten von Dekohärenz für mögliche Quantenüberlagerungen im Gehirn viel kürzer als die üblichen Zeitskalen für bewusste Prozesse, was zu ihrer Irrelevanz führt (TEGMARK 2014).

Die Frage des Übergangs von der Quantenphysik zur klassischen Physik ist auch mit der Frage verbunden wo der Heisenbergsche Schnitt angewendet werden kann. Dieser Begriff geht auf Diskussionen zwischen Werner Heisenberg und Wolfgang Pauli im Jahr 1935 zurück und bezieht sich auf die Skala eines Problems in der Quantentheorie, bei der eine klassische Beschreibung verwendet werden kann, ohne dass es zu einem Konflikt mit dem Experiment kommt. In dem oben genannten Beispiel des Gehirns gibt die Dekohärenzzeitskala eine untere Schranke für den Schnitt vor und garantiert die Gültigkeit einer effektiven klassischen Beschreibung der neuronalen Prozesse. Es kann jedoch andere Situationen geben, in denen der Heisenberg-Schnitt außerhalb des Bereichs der Beobachtungsskalen liegt und in denen daher Quanteneffekte selbst in makroskopischen Situationen eine Rolle spielen können.

Solche Situationen können auftreten, wenn die Gravitationswechselwirkung relevant wird. Eine Theorie der Quantengravitation liegt noch nicht in  vollständiger Form vor, aber es scheint, dass eine solche Theorie als Hauptbestandteil einer vereinheitlichten benötigt wird. Ein Grund für diese Überzeugung ist die Unvollständigkeit der allgemeinen Relativitätstheorie, die in den Singularitätstheoremen zum Ausdruck kommt. GEROCH und HARTLE (1986) haben argumentiert, dass eine solche Theorie unentscheidbare Aussagen enthält, zumindest in den gegenwärtigen Formulierungen der Theorie, die von Pfadintegralen Gebrauch macht. In dieser Formulierung, so argumentieren Geroch und Hartle, kann kein Computer eine Berechnung von Erwartungswerten durchführen, weil die Frage, ob zwei vierdimensionale Mannigfaltigkeiten dieselbe Topologie haben, unentscheidbar ist; im Pfadintegral werden alle möglichen Topologien überlagert, so dass keine Berechnung durchgeführt werden kann.

Eine weitere wichtige Anwendung der Gödel-Theoreme auf die  Quantengravitation ist in der kanonischen Formulierung der Theorie (ISHAM 1992). Die quantengravitatorische Wellenfunktion ist dort als Lösung der Wheeler-DeWitt Gleichung zu bestimmen, die die Form H = 0 hat, wobei H der Hamilton-Operator (Energie) aller Freiheitsgrade ist. Im üblichen Formalismus der Quantentheorie ergibt diese Gleichung nur dann einen Sinn, wenn der Wert 0 im diskreten Spektrum von H ist. Eine Entscheidung über diese Frage stößt jedoch auf das oben erörterte Problem der spektralen Lücke: Es ist unentscheidbar, ob es tatsächlich eine Lücke zwischen Null und anderen Eigenwerten (wie gewünscht) gibt oder nicht. Unseres Wissens wurde dieser wichtige Punkt in der Literatur zur Quantengravitation noch nicht behandelt.

4 Können wir entscheiden, ob eine einheitliche physikalische Theorie die endgültige ist?
Kurt Gödel war zwar Mathematiker, hatte aber Interessen, die weit über die Mathematik hinausgingen. In seinen eigenen Worten:

Kombinatorisch scheine ich weder begabt noch interessiert zu sein (Karten- und Schachspiel, und schlechtes Gedächtnis). Begrifflich scheine ich begabt und interessiert zu sein. Es interessiert mich bei allem nur, wie es . . . geht (nicht die tatsachliche Ausführung). Also soll ich mich den Grundlagen der Wissenschaften (und der Philosophie) widmen. Das bedeutet: Nicht nur Grundlagen der Physik, Biologie und Mathematik, sondern auch der Soziologie, Psychologie, Geschichte . . . . Das heißt Überblick über sämtliche Wissenschaften und dann Grundlagen (das ist auch, worauf ich mich eigentlich interessiere). (GÖDEL (2020), Seite 81)¹³

Zu seinen weiteren Hauptinteressen gehörte die Physik, für die er sich im selben Sinne wie in der Mathematik eine zugrunde liegende Realität vorstellte. Er glaubte, „dass eine Frage die jetzt nicht entscheidbar ist, eine Bedeutung hat und in der Zukunft  entschieden werden kann.“ (GÖDEL 1990, p. 170). Können wir die im Titel dieses Abschnitts gestellte Frage beantworten, ob eine vereinheitlichte Theorie die endgültige ist oder nicht?

Es ist sicherlich keine leichte Aufgabe, eine Kandidatentheorie überhaupt zu konstruieren. Für Gödel war die Rolle der Intuition in der Forschung von großer Bedeutung. Dies hatte er mit Einstein gemeinsam, der die Bedeutung der Intuition in seiner Arbeit an verschiedenen Stellen betonte, zum Beispiel in EINSTEIN (1949). Ob Intuition funktioniert, ist natürlich nicht klar. Einstein war erfolgreich bei der Konstruktion der allgemeinen Relativitätstheorie, aber er scheiterte bei der Konstruktion einer einheitlichen Feldtheorie. Wie Friedrich Dürrenmatt bemerkt: „Während er vom Empirischen durch Intuition zum apriorischen Bild gelangte, versuchte er nun [in seinen Versuchen einer einheitlichen Feldtheorie], durch Intuition vom apriorischen [d.h. mathematischen] Beschreibung zum Empirischen zu gelangen“ (DÜRRENMATT 1986, p. 167). Aber ohne die Verbindung des mathematischen Formalismus mit Experimenten oder Beobachtungen können alle Bemühungen vergeblich sein.

In den meisten Versuchen, eine endgültige Theorie zu konstruieren, ist das zugrunde liegende Konzept von Raum (oder Raum-Zeit) das eines Kontinuums. In der allgemeinen Relativitätstheorie wird die Raumzeit modelliert als  (pseudo-)Riemannsche Mannigfaltigkeit, die lokal wie R aussieht und somit die gleiche Kardinalität wie R besitzt, nämlich [Sonderzeichen]. Ähnliche Eigenschaften gelten für die Räume, die in anderen Ansätzen, wie der kanonischen Quantengravitation oder der Stringtheorie, eine Rolle spielen. Nehmen wir letztere als Beispiel. Die Theorie wird auf einer zehn- oder elfdimensionalen Mannigfaltigkeit definiert. Um zu verstehen, warum wir nur vier Dimensionen beobachten, muss man sich auf einen Mechanismus berufen, der die übrigen Dimensionen unbeobachtbar macht. Dies kann zum Beispiel durch eine Kompaktifizierung in Form von Calabi-Yau-Räumen.¹⁴ erreicht werden. Aber auch diese Räume sind Mannigfaltigkeiten und besitzen daher eine unabzählbare Anzahl von Freiheitsgraden. Man hat es also mit der Kontinuumshypothese zu tun, von der wir wissen, dass sie unentscheidbar ist.

Von vielen Mathematikern wurde das Kontinuum als Repräsentation der reellen Zahlen im Sinne einer Punktmenge dargestellt. Dieses Bild erwies sich als sehr mächtig für die Entwicklung der Mathematik, aber es ist nicht das einzige. Im Bereich der Nicht-Standard-Analysis (SCHMIEDEN und LAUGWITZ 1958) wurden in den letzten Jahrzehnten konsistente Modelle des Kontinuums konstruiert, bei denen sich viel mehr Zahlen unterschiedlicher Kardinalität auf dem Kontinuum befinden. Solche Nicht-Standard-Modelle existieren mit beliebig hoher Kardinalität, die weit über die Kardinalität der reellen Zahlen hinausgehen; siehe z. B. MARCJA und TOFFALORI (2003). Diese Zahlen werden auch hyperreale Zahlen genannt; in solchen Modellen ist eine Zahl wie 0:999 . . . nicht gleich 1 (wie wir es in der Schule lernen), sondern ist streng kleiner als diese. Diese Nicht-Standard-Modelle stellen den Begriff der infiniten Zahlen auf eine solide Grundlage. Man kann das Kontinuum als unerschöpflich bezeichnen, nicht vergleichbar mit dem Bild einer Punktmenge, wobei die Punkte reelle Zahlen darstellen. Solange wir also  den Begriff des Kontinuums auf einer fundamentalen Ebene verwenden, gelten die  Unentscheidbarkeitssätze der Gödel-Theoreme und wir werden niemals die Mikrostruktur der Raumzeit kennen. Die endgültige Antwort auf die Frage Kontinuum oder diskreter Raum kann letztlich nur aus der Empirie kommen.

Die Idee des mathematischen Realismus wird von Max Tegmark auf die Spitze getrieben, der die Vorstellung vertritt, dass unser Universum in der Tat aus mathematischen Strukturen in einem realistischen Sinne besteht (TEGMARK 2014).  Um Probleme mit Gödels Theoremen zu vermeiden, geht er davon aus, dass in der Natur nur berechenbare Zahlen realisiert sind. Aber diese Annahme steht bereits im Widerspruch zur Unentscheidbarkeit des Spektrallückenproblems, ein Problem, das in der Standard-Quantentheorie auftritt. Tegmarks Welt wäre von Unentscheidbarkeits-Problemen geplagt.

Dass es in unserer realen Welt keine Unendlichkeiten geben sollte, wurde schon von Hilbert betont. Auch ELLIS et al. machen sich diese Sichtweise zu eigen und argumentieren, dass Unendlichkeit in der Physik immer potentielle Unendlichkeit im Sinne von sehr großen Zahlen bedeutet und dass eine tatsächliche  Unendlichkeit (die sie als essentielle Unendlichkeit bezeichnen) nicht vorkommt. In diesem Fall verschwinden alle Antinomien und Paradoxien, die mit Unendlichkeiten verbunden sind. Mathematische Verfahren wie die Regularisierung und Renormierung im Quantenfeld sind dann nur noch vorläufiger Natur und würden in einer endgültigen Theorie hinfällig werden.

Eine endliche Welt würde auch zu einer endlichen Anzahl von überlagerten Quantenzuständen in den oben beschriebenen Verschränkungssituationen führen. Bei einer endlichen Anzahl von Quanten- Freiheitsgraden scheint die Wahrscheinlichkeitsinterpretation der Quantentheorie abgeleitet werden zu können, ohne dass ein Zusammenbruch der Wellenfunktion und eine Ad-hoc-Regel¹⁵ erforderlich wären. Es würde keine Probleme im Zusammenhang mit dem Heisenberg’schen Schnitt mehr geben.

Die Kandidaten für eine einheitliche Theorie verwenden in der Regel ein kontinuierliches Bild der Raum-Zeit. Einige bemerkenswerte Ausnahmen sind Carl Friedrich von Weizsäckers Urtheorie und John Wheelers Modelle von It from Bit. Bislang haben diese Ideen nicht zu einer endgültigen Theorie geführt, die sowohl vollständig als auch empirisch überprüfbar ist, aber es ist vorstellbar, dass eine endgültige Theorie solche Strukturen verwenden wird.

Selbst für eine endliche Welt kann die Zahl der Freiheitsgrade sehr groß sein.
Seth Lloyd hat die Menge an Informationen geschätzt, die im beobachtbare Teil des Universums registriert werden können, und er kam auf die Zahl von 10¹²⁰ Bits (LLOYD 2002). Dies gibt eine Obergrenze für die Menge der möglichen Berechnungen, von der wir natürlich in jeder praktischen Anwendung weit entfernt bleiben werden. Zahlen in dieser Größenordnung sind in der Kosmologie weit verbreitet und ergeben sich aus der Annahme einer kleinsten räumlichen Skala in der Größenordnung der Planck-Länge.¹⁶ Die Größe dieser Zahl und die entsprechende Kleinheit der Planck-Skala ermöglichen die konsistente Formulierung physikalischer Theorien mit einem zugrunde liegenden Raum-Zeit-Kontinuum, selbst wenn unsere „tatsächliche“ Raumzeit diskreter Natur ist.

Es scheint also, dass wir zumindest im Prinzip entscheiden könnten, ob eine bestimmte Theorie endgültig ist oder nicht, wenn die Welt auf kleinen und großen Skalen endlich ist. Vor langer Zeit hat bereits Bernhard Riemann Spekulationen in dieser Richtung angestellt, obwohl er von den späteren Entwicklungen in der Physik und Mathematik nichts ahnen konnte. In seiner berühmten Habilitationsschrift schreibt er:

Die Frage nach der Gültigkeit der Voraussetzungen der Geometrie im
unendlichen Kleinen ist mit der Frage nach dem innern Grunde der
Massenverhältnisse des Raumes. Es muss also entweder das dem
Raume zu Grunde liegende Wirkliche eine discrete Mannigfaltigkeit
bilden, oder der Grund der Massverhältnisse ausserhalb, in darauf
wirkenden bindenden Kräften, gesucht werden. (JOST 2016, p. 40)¹⁷

Daraus schließen wir, dass, wenn die Raum-Zeit-Struktur nicht grundlegend diskret ist und die Gesamtzahl der Freiheitsgrade in der Welt begrenzt ist, die Frage, ob eine gegebene Theorie die endgültige ist oder nicht, unentscheidbar bleiben wird und wir somit für immer mit einem Ignorabimus leben müssen.
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Fußnoten:
1
Auf dieser Konferenz stellte Hilbert seine Liste von 23 wichtigen ungelösten Problemen in der Mathematik vor.
2
Siehe und „höre“ www.maa.org/press/periodicals/convergence/david-hilberts-radio-address, wo auch die deutsche Transkription und die englische Übersetzung zu finden sind.
3
Deutsches Original: „Wir dürfen nicht denen glauben, die heute mit  philosophischer Miene und überlegenem Tone den Kulturuntergang prophezeien und sich in den Ignorabimus verlieben. Für uns gibt es keinen Ignorabimus, und meiner Meinung nach auch für die Naturwissenschaft überhaupt nicht. Statt des törichten Ignorabimus heiße im Gegenteil unsere Losung: Wir müssen wissen, wir werden wissen.“ Dieser Slogan ist auf seinem Grabstein in Göttingen eingraviert.
4
Deutsches Original: Das Schöne an der Darstellung einer Sache ist, zunächst allgemeine Begriffe (abstrakte) und ihnen eventuell ihre Theorie zu geben und dann die Anwendung auf die Empirie. . . . Dasselbe ist der Grund dafür, dass das Schöne an der Physik die Erklärung der alltäglichen Erscheinungen ist. Daher auch der Name >>Erkennen<<. (GÖDEL (2021), S. 70)
5
Für eine englische Übersetzung siehe GÖDEL (1986), S. 145 ff.
6
Siehe seinen Artikel „Was ist das Cantorsche Kontinuumsproblem?“, erstmals veröffentlicht 1947, siehe GÖDEL 1990, S. 176-187, und später in einer überarbeiteten Fassung 1964 veröffentlicht, siehe GÖDEL 1990, S. 254-270.
7
Siehe z.B. HOFSTADTER (1982) oder die ausführlichen redaktionellen Anmerkungen in GÖDEL (1986) und GÖDEL (1990).
8
Wie Roger Penrose bemerkt hat: „Es ist meine persönliche Meinung, dass wir finden werden, dass Fragen der Berechenbarkeit in der zukünftigen physikalischen Theorie von großer Bedeutung sein werden, aber bisher wurden diese Ideen in der mathematischen Physik nur sehr wenig genutzt.“ (PENROSE 2004, p. 378). Der vorliegende Aufsatz ist ein erster Versuch, diese Lücke zu schließen.
9
Eine konkrete Konstruktion eines Hamiltonoperators, dessen spektrale Lücke unentscheidbar ist, findet sich in CUBITT (2021).
10
Die Kardinalität der komplexen Zahlen C, die in der Quantentheorie eine wichtige Rolle spielen, ist die gleiche wie die Kardinalität von R (der Mensge der reelen Zahlen).
11
Die Frage nach dem freien Willen gehört übrigens auch zu den sieben „Welträtseln“, die von du Bois-Reymond formuliert wurden.
12
Siehe z.B. KIEFER (2022) für eine Diskussion.
13
Deutsches Original: Kombinatorisch scheine ich weder begabt noch interessiert zu sein (Kartenund Schachspiel, und schlechtes Gedächtnis). Begrifflich scheine ich begabt und interessiert zu sein. Es interessiert mich bei allem nur, wie es . . . geht (nicht die tatsächliche Ausführung). Auch soll ich mich den Grundlagen der Wissenschaften (und der Philosophie) widmen. Das bedeutet: Nicht nur Grundlagen der Physik, Biologie und Mathematik, sondern auch der Soziologie, Psychologie, Geschichte . . . . Das heißt überblick über sämtliche Wissenschaften und dann Grundlagen (das ist auch, worauf ich mich eigentlich interessiere). (GÖDEL (2020), S. 81)
14
Die Zahl der möglichen Verdichtungen wurde auf mindestens 10^272.000 geschätzt (DOUGLAS 2019), was bedeutet, dass es nicht möglich ist, das Standardmodell sinnvoll aus der Stringtheorie abzuleiten.
15
Siehe z.B. die Diskussion in KIEFER (2022), S. 94.
16
Die Planck-Skala ergibt sich aus der Kombination der Planckschen Konstante, der Lichtgeschwindigkeit und der Gravitationskonstante zu einer Größe mit Längeneinheit; sie liegt in der Größenordnung von 10^-35 Metern.
17
Im deutschen Original heißt es (JOST 2013, S. 43): “Die Frage¨uber die Gültigkeit der Voraussetzungen der Geometrie im Unendlichkleinen hängt zusammen mit der Frage nach dem innern Grunde der Massverhältnisse des Raumes. . . . Es muss also entweder das dem Raume zu Grunde liegende Wirkliche eine discrete Mannigfaltigkeit bilden, oder der Grund der Massverhältnisse ausserhalb, in darauf wirkenden bindenden Kräften, gesucht werden.” Die englische Übersetzung stammt von William Clifford. Die „bindenden Kräfte, die auf sie einwirken“, sind in unserem Bild von den Unentscheidbarkeits-Theoreme.

Referenzen
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